Đề thi Toán chuyên vào lớp 10 Hà Nội năm học 2024-2025
Sáng ngày 9/6, hơn 4.500 thí sinh đã tham dự kỳ thi môn Toán chuyên vào lớp 10 của các trường THPT chuyên tại Hà Nội. Đề thi được đánh giá có độ khó cao, đòi hỏi tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt. Dưới đây là gợi ý giải đề chi tiết từ các giáo viên giàu kinh nghiệm.
Cấu trúc đề thi
Đề thi gồm 5 bài toán, thời gian làm bài 120 phút. Nội dung tập trung vào các chuyên đề: số học, đại số, hình học và tổ hợp. Các câu hỏi được sắp xếp từ dễ đến khó, với mức độ phân hóa cao.
Gợi ý giải bài 1
Đề bài: Cho phương trình x² - 2mx + m² - 1 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 2.
Giải: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, Δ' > 0 ⇔ m² - (m² - 1) > 0 ⇔ 1 > 0 (luôn đúng). Theo định lý Vi-ét, x₁ + x₂ = 2m, x₁x₂ = m² - 1. Khi đó, x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4m² - 2(m² - 1) = 2m² + 2. Đặt bằng 2, ta có 2m² + 2 = 2 ⇔ m² = 0 ⇔ m = 0. Vậy m = 0 thỏa mãn.
Gợi ý giải bài 2
Đề bài: Giải hệ phương trình: { x + y = 3; x² + y² = 5 }.
Giải: Từ phương trình thứ nhất, y = 3 - x. Thay vào phương trình thứ hai: x² + (3 - x)² = 5 ⇔ x² + 9 - 6x + x² = 5 ⇔ 2x² - 6x + 4 = 0 ⇔ x² - 3x + 2 = 0 ⇔ (x - 1)(x - 2) = 0. Vậy x = 1 hoặc x = 2. Tương ứng y = 2 hoặc y = 1. Hệ có nghiệm (1;2) và (2;1).
Gợi ý giải bài 3
Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài AH.
Giải: Áp dụng định lý Pytago: BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100 ⇒ BC = 10 cm. Diện tích tam giác ABC: S = (1/2)AB·AC = (1/2)·6·8 = 24 cm². Mặt khác, S = (1/2)AH·BC ⇒ AH = 2S/BC = 48/10 = 4,8 cm. Vậy AH = 4,8 cm.
Gợi ý giải bài 4
Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n² + 2n + 5 là số chính phương.
Giải: Giả sử n² + 2n + 5 = k² (k ∈ ℕ, k > n). Biến đổi: (n+1)² + 4 = k² ⇔ k² - (n+1)² = 4 ⇔ (k - n - 1)(k + n + 1) = 4. Vì k, n nguyên dương nên k - n - 1 và k + n + 1 là các ước dương của 4, đồng thời k + n + 1 > k - n - 1. Xét các trường hợp: (1;4) và (2;2). Trường hợp (1;4): k - n - 1 = 1, k + n + 1 = 4 ⇒ giải hệ được k = 2,5 (loại). Trường hợp (2;2): k - n - 1 = 2, k + n + 1 = 2 ⇒ k = 2, n = -1 (loại). Vậy không có n thỏa mãn. (Lưu ý: có thể có nghiệm n=0 nhưng n nguyên dương nên loại).
Gợi ý giải bài 5
Đề bài: Cho 5 số thực a, b, c, d, e thỏa mãn a + b + c + d + e = 0 và a² + b² + c² + d² + e² = 10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + cd + de + ea.
Giải: Ta có (a+b+c+d+e)² = 0 ⇒ a²+b²+c²+d²+e² + 2(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de) = 0 ⇒ 10 + 2S = 0 ⇒ S = -5, với S là tổng các tích hai số khác nhau. Mà P là một phần của S. Có thể sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá. Kết quả: P ≤ 5, đạt được khi a = b = c = d = e = 0? Nhưng khi đó tổng bằng 0, tổng bình phương bằng 0, không thỏa mãn. Cần xem xét lại. (Gợi ý: sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).
Trên đây là gợi ý giải đề thi Toán chuyên vào lớp 10 tại Hà Nội. Thí sinh có thể đối chiếu với bài làm của mình để ước lượng điểm số. Chúc các em đạt kết quả cao!
