Ngay sau khi nhà toán học Levent Alpöge đăng công thức lên nền tảng X, làn sóng phấn khích lan tỏa khắp cộng đồng toán học quốc tế. Ông và mô hình trí tuệ nhân tạo Claude Fable 5 của Anthropic vừa tìm ra phản ví dụ đầu tiên bác bỏ giả thuyết Jacobian – bài toán trừu tượng nổi tiếng được phát biểu từ năm 1939.
Bài toán 86 năm chưa có lời giải
Giả thuyết Jacobian là một trong những câu hỏi nền tảng của hình học đại số. Theo đó, nếu một hàm số được tạo thành từ các đa thức có định thức Jacobian là một hằng số khác 0, thì hàm số đó được kỳ vọng sẽ có hàm ngược cũng là một đa thức. Nói cách khác, ánh xạ đa thức với độ co giãn đồng đều ở mọi điểm phải luôn có thể nghịch đảo.
Bài toán này được tổng quát hóa lần đầu năm 1939 và nhanh chóng trở thành một thử thách lớn. Nhiều nhà toán học hàng đầu đã dành thời gian nghiên cứu nhưng không ai đưa ra được chứng minh hoàn chỉnh hoặc phản ví dụ. Việc tìm ra một hàm số vừa có định thức Jacobian không đổi, vừa gộp nhiều điểm đầu vào thành cùng một đầu ra, bị coi là cực kỳ khó.
Phản ví dụ đơn giản gây bất ngờ
Phản ví dụ mà Alpöge công bố là một hàm số trong không gian ba chiều, có định thức Jacobian cố định bằng -2. Điểm mấu chốt là hàm số này chuyển nhiều điểm đầu vào về cùng một điểm đầu ra, khiến nó không thể tồn tại hàm ngược. Điều này trực tiếp chứng minh giả thuyết sai đối với mọi số chiều lớn hơn 2.
Theo ScitechDaily, điểm đáng chú ý nhất của phản ví dụ là cấu trúc ngắn gọn. Khác với các chứng minh toán học do AI tạo ra trước đây thường dài dòng và khó kiểm tra, công thức này vừa ngắn vừa đơn giản, cho phép các nhà toán học khác xác minh ngay trong vài phút. Điều đó cho thấy thách thức thật sự không nằm ở việc xây dựng một phép chứng minh phức tạp, mà là tìm kiếm trong một không gian vô cùng rộng lớn các ánh xạ đa thức khả dĩ.
AI trở thành 'mắt thứ hai' của nhà toán học
Claude Fable 5 đã thể hiện năng lực vượt trội khi quét qua lượng lớn các ánh xạ đa thức, nhanh chóng xác định những mẫu hình mà con người có thể bỏ lỡ. Đây không phải lần đầu tiên trí tuệ nhân tạo hỗ trợ giải mã các bài toán kinh điển: trước đây, AI từng giúp bác bỏ giả thuyết khoảng cách đơn vị và giải bài toán Erdős 1196.
Sự kết hợp giữa trực giác của nhà toán học và sức mạnh tìm kiếm của AI đang dần định hình lại cách nghiên cứu toán học ở cấp độ cao nhất. Alpöge cho rằng những công cụ AI như Claude Fable 5 sẽ mở ra cánh cửa tới những khám phá bất ngờ mà trước đây con người khó có thể chạm tới. Phản ví dụ Jacobian chỉ là một minh chứng ban đầu cho xu hướng này.
Tác động lâu dài đối với nghiên cứu
Việc bác bỏ giả thuyết Jacobian không chỉ giải quyết một vấn đề hóc búa kéo dài hàng chục năm, mà còn khẳng định vai trò ngày càng lớn của trí tuệ nhân tạo trong khoa học cơ bản. Cách tiếp cận dùng AI để 'săn tìm' phản ví dụ có thể được áp dụng cho nhiều giả thuyết khác. Dù vậy, giới học thuật cũng đặt ra câu hỏi về tiêu chuẩn thẩm định khi ngày càng nhiều kết quả phụ thuộc vào các mô hình hộp đen.
Với phản ví dụ ngắn gọn và dễ xác minh, cộng đồng toán học nhanh chóng đón nhận kết quả này. Nhiều nhà nghiên cứu đã bắt đầu khai thác ý tưởng từ công trình của Alpöge để tìm kiếm các đối tượng toán học tương tự. Tương lai của ngành toán, rõ ràng, đang được viết lại với sự đồng hành của AI.
